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2016年云南省昆明市艺卓高级中学八年级数学下册教案:4.2《黄金分割》(北师大版)

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资料类别:  数学/教案 所属版本:  北师大
所属地区:  云南 上传时间:  2016/7/1
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成套专题:  专题名称
上传人:  LJop****@163.com

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资料概述与简介

《4.2 黄金分割》 一、教学内容及其分析 1、教学内容:黄金分割 2、内容分析: 本节课要学的内容是黄金分割,指得是线段的比、成比例线段,其核心是线段的比,理解它关键是把握成比例线段的特点,来理解黄金分割的内容。学生已经学过了基本作图,懂得了作图的方法。又在学习本章第一节后,掌握了线段的比、成比例线段的概念,比例的基本性质,求比的计算和比例尺的计算等知识,本节课的内容黄金分割,就是成比例线段的应用。由于学习《黄金分割》不仅实现线段比例的要求,更是体现数学的文化价值,0.618的意义,体现数学与建筑、艺术等学科必然联系的纽带。所以在本学科有非常重要文化价值,并有美化生活的作用,是相似形这一章的基础内容。教学的重点是了解黄金分割的意义并能运用,解决重点的关键是通过建筑、艺术上实例欣赏,应用中进一步强化线段的比、成比例线段的特点,来理解黄金分割的内含。 二、目标及其分析 (一)教学目标 1.了解黄金分割,会找一条线段的黄金分割点,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点; 2.通过找一条线段的黄金分割点,培养学生理解与动手能力。 3.理解黄金分割的意义,并能动手找到和制作黄金分割点和图形,让学生认识数学与人类生活的密切联系。 (二)目标分析 1.了解成比例线段,就是是指结合具体事例,从它们的表示形式上对它们有所了解,并不给出它们的定义,更不涉及其图像或性质。 2.理解比例的基本性质就是指对性质的推理要明白,知道依据是什么。由于本节课的教学内容重点是比例的性质,后续内容还涉及其运算,所以对比例的性质的定位应该是理解层次,并能简单应用。 三、问题诊断分析 在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是找出黄金分割点和黄金矩形,产生这一问题的原因是对比例性质的理解,以及性质推理的认识。要解决这一问题,就是要用等式性质及方程的观点处理问题,关键是把握“比值k”的方法将比例的性质加以证明,掌握其内在的联系。 四、教学过程 问题1:为什么女同胞们穿高跟鞋更有魅力? 设计意图:通过创设一个有趣的情景,将同学的注意力引向本章的学习之中,并引出黄金比解决实际问题。 师生活动:对同学不同的回答,要求其说明原因。 问题2:能从以下国旗中找出共同的图案吗? 设计意图:导出五角星,并据此提出下一问。(中国、新加坡、朝鲜、新西兰国旗) 师生活动:同学回答出即可,教师接着追问问题3. 问题3:度量点C到A、B的距离,相等吗? 设计意图:利用五角星,创设一个有利于同学探究和 综合运用线段比的情境。引入黄金分割的概念,黄金比 约为0.618。 师生活动:提出问题让同学观察、思考、交流、探究, 并共同归纳: 在线段AB上,点C把线段分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金比。 其中 即 因为学生尚未学习一元二次方程,所以无法理解比值为的理由,只需让学生了解这一事实即可。 例1:如何确定黄金分割点? 如果已知线段AB,按照如下方法画图: (1)经过点B作BD⊥AB,使 (2)连接AD,在DA上截取DE=DB (3)在AB上截取AC=AE,则点C为线段AB的黄金分割点。 根据上述作图回答下列问题 (1)如果设AB=2,那么BD、AD、AC、BC分别等于多少? (2)点C是线段AB的黄金分割点吗? 设计意图:在于向同学介绍一种作黄金分割点的方法,同时巩固同学对黄金分割的认识。 师生活动:教师操作,同学动手、独立思考,再与同伴交流完成。由于学生所学过的尺规作图方法有限,作图工具可以用三角尺和刻度尺。 变式练习1:如图,设AB是已知的线段,在AB上作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA至F,使EF=EB,以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是AB的黄金分割点。任意作一条线段,用上述方法作出这条线段的黄金分割点,你能说说这种作法的道理吗? 设计意图:在于向同学介绍另一种可以学到黄金分割点的方法,同时进一步巩固黄金分割点的认识。 师生活动:教师引导,学生动手、观察、思考、交流、讨论,解决问题。 问题4:请同学们观看图4-7是古希腊时间的巴台农神庙,将图中的虚线表示的矩形,画成如图4-8中的矩形ABCD,以矩形ABCD的宽为边在 其内部作正方形AEFD,那么,我们可以惊奇的发现 请你们想一想:点E是AB的黄金分割点吗?矩形ABCD 宽与长的比是黄金比吗? 设计意图:在于展示黄金分割的文化价值,在人类历史上的作用,运用比例变形的一些技巧,体会比例基本性质的重要性,提高解题问题的能力。 师生活动:教师充分引导学生观察、思考、交流、讨论、解决问题。 变式练习2:下面一组矩形中, 你觉得哪一个矩形最好看呢?为什么? 德国一位名叫费希纳的心理学家,曾经专门召开过一个“矩形展览会”,每件展品的边长均在35厘米以下。他邀请了592位朋友到会参观,要求每位参观者在看完之后投票选出自己心中认为最美的矩形,结果下面四种矩形得票最多:5×8,8×13,13×21,21×34。这组矩形的短边与长边之比均接近0.618。 17世纪的英国美学家夏里兹曾说:“凡是美的都是合谐的和比例合度的;凡是和谐的和比例合度的就是真的,凡是既美而又真的也就是在结果上愉快和完善的”。 那么,在人们的眼中,什么样的事物才算是美的?人们在探求美的规律的过程中,有这样的发现:著名的维纳斯女神像,以及太阳神阿波罗的塑像,从肚脐到脚底的高度与全身高度之比为0.618。在达·芬奇、提香等众多著名艺术家的作品中,有许多比例关系,也都是0.618。为什么人们对0.618如此钟爱?它又是怎样的一个数?这恐怕还得从古希腊毕达哥拉斯的一句名言谈起:“凡是美的东西都具有共同的特征,就是部分与部分及部分与整体之间的协调一致性。” 假设C是线段AB的一个分点,为了实现其“协调一致”,那么应该有,如果设AB=1,AC=x,则这个神秘的数原来是方程的正根,平时我们只取它的近似值,又称为“黄金比”;导致这一比值的分割,便称为“黄金分割”;上例中的C点则称为线段AB的“黄金分割点”。 自从古希腊数学家欧多克索首次发现了“黄金比”之时,它便成了一条公认的美学规律。“黄金分割”也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面。如在设计工艺品或日用品的宽和长时,常设计成宽与长的比近似为0.618,建筑师们常常把它作为门窗的比例,这样易引起美感;在拍照时,常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处,会显得更加协调、悦目;舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处,这样音响效果就比较好,而且显得自然大方,给观众留下更美好的形象;黄金分割在工厂里也有着普遍的应用。如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种。就连我们国家庄严美丽的国旗图案中的正五角形,也蕴含着黄金比:正五角形的每条边恰好被与之相交的另外两边黄金分割。 黄金比在数学、美学、艺术中显示出了艺大的作用,随处可以见到它的影子。难怪中世纪意大利数学家帕西奥里称之为“神圣比例”。首次将它冠以“黄金”美称的,则是意大利著名科学家、艺术家和工程师达·芬奇。 在日常生产、生活和工程设计中,常常会面临这样一个问题:如何用最少的时间和步骤得出最佳的方案。比如说,要配制一种化学药剂,需要在其中加入10克~50克的酒精,那么应该加多少呢,通常的方法是从加互克开始,然后是2克、3克……不断重复试验直至找到最佳值。这种办法费时费力而且很盲目。优选法就是为了减少步骤而得到相同结果的迅捷方法,其中以黄金比为核心的0.618法最为人们所称道。 还是举一个例子来说明0.618法的步骤:假若配制一种药剂需要加入1000~2000克的酒精,应该如何尝试求出最佳值? 首先可以找一张大纸条,上面均匀地标好从l000到2000的数值,然后取其黄金分割点1618,划上一条线,再把纸条从正中央对折,在1618的线的正下方对应的点1382上也划了条竖线,相当于求出另外一个方向上的黄金分割点,然后取这两个值进行比较,看哪个更接近所需结果,倘若1618的结果比较好,就把纸条从1382剪去,剩下的点1618仍是黄金分割点,然后再对折,再划线,再比较,再剪去不需要的线段,这样很快就可以把范围缩得很小,很容易地就把最佳结果找到了。 这种方法在70年代曾被数学家华罗庚在全国大力宣传和推广,产生了巨大的经济效益。 图片欣赏 1、上海东方明珠塔,是亚洲第一,世界第三,塔高462.85米。设计师将在295米处设计了一个上球体,使平直单调的塔身变得丰富多彩,非常协调、美观。 2.太阳神阿波罗的塑像,从肚脐到脚底的高度与全身高度之比为0.618。 3.据专家调查,芭蕾演员虽身材修长,但其腰长与身高之比平均约为0.58,只有在翩翩起舞时、踮起脚尖,方能展现0.618的魅力。 4.希腊古城雅典有一座大理石彻成的神庙,其中有一尊雅典娜女神像,由象牙黄金雕制而成,姿态十分优美。专家研究后发现:她的腰长(即从肚脐到脚底的距离)与身高的比值,恰好等于0.618。 5.著名的巴黎圣母院,同样应用了黄金比。 6.著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用。通过下面图片可以看出来,蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割,使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美. 7.文明古国埃及的金字塔,形似方锥,大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618. 8.当植物的枝干的夹角137°28′时,通风和采光能达到最好效果,这是为什么呢? 数学,不仅使你更聪明,而且使你更美丽。 设计意图:通过建筑、艺术上的实例再次了解黄金分割,体会黄金分割在现实生活的广泛应用和文化价值,增强学生的数学应用意识。 师生活动:教师提供几幅图片,在教师的引导下,学生认真观察、思考、交流,从图中找出黄金分割点或黄金比。 例2:电信公司通往某地的通信信号突然中断,通信电缆有10千米,现在公司要派人检测,找到故障发生地,请你提供一种你认为速度较快的检测方案? 变式练习1:据有关测定,当气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合。(人的正常体温36.2℃~37.2℃) 变式练习2:在人体下半身与身高的比例上,越接近0.618,越给人美感,遗憾的是,即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某女士身高1.68米,下半身1.02米,她应该选择多高的高跟鞋看起来更美呢? 变式练习3:邻边满足黄金分割的矩形称为黄金矩形,腰与底满足黄金分割的等腰三角形称为黄金三角形。试画一个黄金矩形和黄金三角形。 五.小结: 1.什么是黄金分割? 2.如何去确定黄金分割点或黄金比? 3.如何要用数学美去装点和美化生活? 初中学习网,资料共分享!我们负责传递知识!www.czxxw.com

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