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2016学年八年级数学导学课件:第1章 1《等腰三角形》第2课时(北师大版下册)

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资料类别:  数学/课件 所属版本:  北师大
所属地区:  全国 上传时间:  2016/4/22
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成套专题:  专题名称
上传人:  IdPK****@126.com

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资料概述与简介

第2课时 1 等腰三角形 1.掌握证明的基本步骤和书写格式. 2.经历“探索、猜想、证明”的过程,能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理. 3.结合实例体会反证法的含义. 等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线、底边上的高线互相重合. 等腰三角形的两个底角相等. 简称: 等边对等角. 顶角 【定义】 【性质定理】 【性质定理的推论】 有两边相等的三角形叫做等腰三角形. (简称:“三线合一”) 等腰三角形 知识回顾 A C B 你能证明你的结论吗? 画一画: 先画一个等腰三角形, 然后在等腰三角形中作出一些线段 (如角平分线、中线、高线), 你能发现其中一些相等的线段吗? 等腰三角形还具有哪些重要的性质? 除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, 还有哪些简单的方法来判定三角形是等腰三角形? 结论 1.三线合一 2.底角的两条平分线相等 3.两条腰上的中线相等 4.两条腰上的高线相等 图例 A A Q 【结论】 【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等. A C B D E 已知: 求证: BD=CE. 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线. 1 2 【例题】 ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 【证明】 ∠2= ∠ACB(已知), 又∵∠1= ∠ABC, ∴∠1=∠2(等式性质). 在△BDC与△CEB中, ∵ ∠DCB=∠ EBC(已知), BC=CB(公共边),  ∠1=∠2(已证), ∴ △BDC≌△CEB(ASA). ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等). A C B D E 1 2 又∵CM= ,BN=  (已知), 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. BM=CN. 求证: 已知: 如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC 两腰上的中线. 【证明】 ∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). (全等三角形的对应边相等). ∴CM=BN(等式的基本性质). 在△BMC与△CNB中, ∵ BC=CB(公共边), ∠MCB=∠NBC(已知), CM=BN(已证), ∴△BMC≌△CNB(SAS). ∴BM=CN 【跟踪训练】 A C B D E 1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. (1)如果∠ABD= ∠ABC , ∠ACE= ∠ACB, 那么BD=CE吗? 为什么? (2)如果∠ABD= ∠ABC , ∠ACE= ∠ACB 呢? 由此你能得到一个什么结论? 【议一议】 如果∠ABD= ∠ABC , ∠ACE= ∠ACB , 那么BD=CE吗? 2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. 如果AD= AC,AE= AB, 那么BD=CE吗? 为什么? A C B D E 由此你能得到一个什么结论? 数学方法:特殊到一般的思想方法 如果AD= AC , AE= AB ,那么BD=CE吗? 3. 前面已经证明了“等边对等角”,反过来,“等角对等边”吗? 即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? A C B 已知: 如图, 在△ABC中, ∠B=∠C. 求证: AB=AC. 要证明AB=AC,只要能构造出AB,AC所在的两个三角形全等就可以了.请与小组内同学交流. 分析: 作∠A的平分线或作BC边上的高. 作BC边上的中线可以吗? 有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边). 这又是判定两条线段相等的依据之一.请同学们注意运用哦! 等腰三角形的判定定理 在△ABC中, ∵∠B=∠C(已知), ∴AB=AC(等角对等边). A C B 【结论】 两个角相等的三角形是等腰三角形,那么在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边有什么关系呢? C A B 你认为这个结论成立吗? 如果成立,你能证明它吗?请与小组内同学交流. 在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AC ≠ AB. 不相等. 【猜想】 分析:如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时, AC与AB要么相等,要么不相等. 证明:假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C,但已知条件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾,因此, AB≠AC. 论证命题的新思维与新方法 先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 反证法是一种重要的数学证明方法,在解决某些问题时常常会有出人意料的作用. 论证的新方法——反证法 【证明】假设这五个数中没有一个大于或等于 ,即都小于 ,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此,这五个数中至少有一个大于或等于 . 【例2】求证: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于 . 【例题】 1.假设: 先假设命题的结论不成立. 2.归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果; 3.结论: 由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 【规律方法】用反证法证题的一般步骤 1. (宁波·中考)如图,在△ABC中, AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是 △ABC,△BCD的角平分线,则图中的 等腰三角形有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【解析】选A. ∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形. 又∵∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°. ∵BD,CE分别是△ABC,△BCD的角平分线, ∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°, ∠BCE=∠DCE= ∠ACB=36°. ∴∠A=∠ABD,∠CBD=∠BCE, ∴△ABD,△BCE是等腰三角形. ∵∠CDE=∠A+∠ABD=72°,∠DEC=∠CBD+∠BCE=72°, ∴∠CDE=∠DEC=∠ACB. ∴△CDE、△BCD是等腰三角形. ∴一共有5个等腰三角形. 2. (通化·中考)用反证法证明命题“三角形中必有 一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形 中( ) A.有一个内角大于60° B.有一个内角小于60° C.每一个内角都大于60° D.每一个内角都小于60° 【解析】选C.因为“必有一个内角小于或等于60°”的反面是“没有一个内角小于或等于60°”,即“每一个内角都大于60°”. 3.(日照·中考)一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A,B两点,在x轴上取一点C,使△ABC为等腰三角形,则这样的点C最多有______个. 【解析】当C点的坐标为( ,0)或( ,0) 时,AB=AC,当C点的坐标为(4,0)时,AB=BC;当C点的坐标 为(0,0)时,AC=BC.所以C点共有4个. 答案:4 4.(衡阳·中考)已知:如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使 CE=CD. 求证:BD=DE. 【解析】 ∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°, ∵D为AC的中点, ∴∠DBC= ∠ABC=30°, ∵CE=CD, ∴∠E=∠CDE, 又∵∠ACB=∠E+∠CDE, ∴∠E= ∠ACB=30°, ∴∠DBC=∠E, ∴BD=DE. 1. 观察、探索、发现并证明等腰三角形中相等的线段,并由特殊结论归纳出一般结论. 2. 等腰三角形的判定定理 “等角对等边”. 3. 了解反证法.

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