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2015春八年级数学下册教案 5.4《分式方程》1(新版)北师大版

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资料类别:  数学/教案 所属版本:  北师大
所属地区:  全国 上传时间:  2015/4/14
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资料概述与简介

《分式方程》第1课时 教学目标 (一)教学知识点 1.通过对实际问题的分析,感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义. 2.通过观察,归纳分式方程的概念. (二)能力训练要求 体会到分式方程作为实际问题的模型,能够根据实际问题建立分式方程的数学模型,并能归纳出分式方程的描述性定义. (三)情感与价值观要求 在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气,并从中获得成就感,提高解决问题的能力. 教学重难点 教学重点:能根据实际问题的数量关系列出分式方程,归纳出分式方程的定义. 教学难点:能根据实际问题中的等量关系列出分式方程. 教学过程 Ⅰ.创设情境,引入新课 [师]在这一章的第一节《分式》中,我们曾研究过一个固沙造林,绿化家园的问题.当时,我们设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个月.根据题意,可得方程-=4.(1) 我们说,分母中含有字母,我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式.可是,我们也是第一次遇到这样的方程,它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界,是一种反映现实世界的数学模型. 接下来,我们再来看几个这样的例子. Ⅱ.讲授新课 列出刻画现实世界的数学模型——方程. [小麦实验田问题] 有两块面积相同的小麦试验田,第一块使用原品种,第二块使用新品种,分别收获小麦9000kg和15000kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg,分别求这两块试验田每公顷的产量. 你能找出这一问题中所有的等量关系吗? 如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg,那么,第二块试验田每公顷的产量是____________kg. 根据题意,可得方程____________. [师]在这个问题中涉及到了哪几个基本量?它们的关系如何? [生]涉及到三个基本量:总产量,每公顷试验田的产量,试验田的面积.其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积. [师]你能找出这一问题的所有等量关系吗? [生]第一块试验田的面积=第二块试验田的面积.(a) [生]还有一个等量关系是: 第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量(b) [师]我们接着回答下面的问题:如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg,那么第二块试验田每公倾的产量是多少kg呢? [生]根据等量关系(b),可知第二块试验田每公顷的产量是(x+3000)kg. [生]根据题意,利用等量关系(a),可得方程:=.(2) [师],的实际意义是什么呢? [生]它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积. [师]有没有别的方法列出方程呢?同学们可以以小组为单位讨论,交流,我们看哪一个组思维最敏捷. [生]根据等量关系(a),我们可以设两块试验田的面积都为x公顷,那么表示第一块试验田每公顷的产量,表示第二块试验田每公顷的产量,根据等量关系(b)可列出方程: +3000=(3) [师]接下来,我们再来看一个问题 [电脑网络培训问题] 王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训,按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍,费用享受了优惠,一共只需要480元,参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元.原定的人数是多少? 这一问题中有哪些等量关系? 如果设原定是x人,那么每人平均分摊____________元; 人数增加到原定人数的2倍后,每人平均分摊____________元. 根据题意,可得方程____________. [师]我们先来审题,找到题中的等量关系. [生]由题意,可知: 实际参加活动的人数=原定人数×2倍.(c) [生]还有一个等量关系为: 原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元.(d) [师]同学们已经过审题,找到了题中的等量关系,接下来该干什么呢? [生]设出未知数,列出方程,将具体实际的问题转化为数学模型. [师]你很棒!下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的,你有几种列方程的方法呢? 讨论后,各小组可选代表回答上面的问题. [生]我代表第一小组回答.我们设未知数的方法采用中方法: 设原定是x人,那么每人平均分摊元;人数增加到原来人数的2倍后,每人平均分摊元,根据题意,利用等量关系(d),得方程:-4=(4) [生]我们组没有按照投影片上的设法,而是设原定每人平摊y元,那么原定人数为人;实际参加活动的每个同学平摊(y-4)元,那么实际参加活动的人数为人,根据题意,利用等量关系(c),得方程:2×=.(5) [师]上面两个组的回答都很精彩,祝贺他们.(鼓掌)从同学们的表现不难看出,用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境,同学们掌握得很好.下面我们再来用方程来解决一个几何问题,刻画一个几何模型. 如上图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2a,高AD=h,求内接正方形PQRS的边长. [师生共析]由于SPQR是正方形,SR∥BC,AE⊥SR,所以AE是△ASR的高且ED=SR=正方形SPQR的边长,△ASR的高AE可表示为AD与正方形边长的差. 由SR∥BC,可得△ASR∽△ABC,于是有:=(相似三角形对应高的比等于相似比).所以可设正方形的边长为x,由= 得:=.(其中a、h为常数)(6) [师]你还能找出图中的相似三角形吗?你还能用它的性质列出方程吗?同学们可以在小组内讨论、交流. [生]从上图中可知SPQR是正方形,所以RQ⊥BC,又因为AD⊥BC,所以AD∥RQ,△ADC∽△RQC.可得=. 即=. 所以,设内接正方形的边长为2x,根据题意,得=.(a、h为常数).(7) [师]你们表现得真棒! 观察方程:-=4 (1) = (2) +3000= (3) -4= (4) 2×= (5) =.(其中a、h为常数) (6) =(其中a、h是常数) (7) 上面所得到的方程有什么共同特点? [生]不难发现方程中的未知数都含在分母中,不是一元一次方程. [师]是的.这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程.方程(6)是什么方程? [生]方程(6)中,分母不含未知数,它是一元一次方程. Ⅲ.随堂练习 1.已知鱼塘中有x千克鱼,每千克鱼的捕捞费用是元.现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元,求x满足的方程. 分析:题中的等量关系是: 101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元. 解:x满足的方程是:101×=200. 2.补充练习 某商场有管理人员40人,销售人员80人,为了提高服务水平和销售量,商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分,使管理人员与销售人员的人数比为1∶4,那么应抽调的管理人员数x满足怎样的方程? 解:抽调管理人员x人后,管理人员有(40-x)人,销售人员有(80+x)人,则 =. Ⅳ.课时小结 这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型,认识了一种新的方程——分式方程. 第2课时 教学目标 (一)教学知识点 1.解分式方程的一般步骤. 2.了解解分式方程根的必要性. (二)能力训练要求 1.通过具体例子,让学生独立探索方程的解法,经历和体会解分式方程的必要步骤. 2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想,认识到能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的途径. (三)情感与价值观要求 1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯,培养严谨的治学态度. 2.运用转化的思想,将分式方程转化为整式方程,从而获得一种成就感和学习数学的自信. 教学重难点 教学重点: 1.解分式方程的一般步骤,熟练掌握分式方程的解决. 2.明确解分式方程验根的必要性. 教学难点: 明确分式方程验根的必要性. 教学过程 Ⅰ.提出问题,引入新课 [师]在上节课的几个问题,我们根据题意将具体实际的情境,转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决,则必须设法解出所列的分式方程. 这节课,我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法,也许你会从中得到启示,寻找到解分式方程的方法. 解方程+=2- [师生共解]去分母,方程两边同乘以分母的最小公倍数6,得3(3x-1)+2(5x+2)=6×2-(4x-2). (2)去括号,得9x-3+10x+4=12-4x+2, (3)移项,得9x+10x+4x=12+2+3-4, (4)合并同类项,得23x=13, (5)使x的系数化为1,两边同除以23,x=. Ⅱ.讲解新课,探索分式方程的解法 [师]刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程. [例1]解方程:=. (1) [生]解这个方程,能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢? [师]同学们说他的想法可取吗? [生]可取. [师]同学们可以接着讨论,方程两边同乘以什么样的整式(或数),可以去掉分母呢? [生]乘以分式方程中所有分母的公分母. [生]解一元一次方程,去分母时,方程两边同乘以分母的最小公倍数,比较简单.解分式方程时,我认为方程两边同乘以分母的最简公分母,去分母也比较简单. [师]我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢? [生]x(x-2). [师生共析]方程两边同乘以x(x-2),得x(x-2)=x(x-2)·, 化简,得x=3(x-2). (2) 我们可以发现,采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程,而且是我们曾学过的一元一次方程. [生]再往下解,我们就可以像解一元一次方程一样,解出x.即x=3x-6(去括号) 2x=6(移项,合并同类项). x=3(x的系数化为1). [师]x=3是方程(2)的解吗?是方程(1)的解吗?为什么?同学们可以在小组内讨论. (教师可参与到学生的讨论中,倾听学生的说法) [生]x=3是由一元一次方程x=3(x-2) (2)解出来的,x=3一定是方程(2)的解.但是不是原分式方程(1)的解,需要检验.把x=3代入方程(1)的左边==1,右边==1,左边=右边,所以x=3是方程(1)的解. [师]同学们表现得都很棒!相信同学们也能用同样的方法例2. [例2]解方程:-=4 (由学生在练习本上试着完成,然后再共同解答) 解:方程两边同乘以2x,得 600-480=8x 解这个方程,得x=15 检验:将x=15代入原方程,得 左边=4,右边=4,左边=右边,所以x=15是原方程的根. [师]很好!同学们现在不仅解出了分式方程的解,还有了检验结果的好习惯. 我这里还有一个题,我们再来一起解决一下(先隐藏小亮的解法) 议一议 解方程=-2. (可让学生在练习本上完成,发现有和小亮同样解法的同学,可用实物投影仪显示他的解法,并一块分析) [师]我们来看小亮同学的解法:=-2 解:方程两边同乘以x-3,得2-x=-1-2(x-3) 解这个方程,得x=3. [生]小亮解完没检验x=3是不是原方程的解. [师]检验的结果如何呢? [生]把x=3代入原方程中,使方程的分母x-3和3-x都为零,即x=3时,方程中的分式无意义,因此x=3不是原方程的根. [师]它是去分母后得到的整式方程的根吗? [生]x=3是去分母后的整式方程的根. [师]为什么x=3是整式方程的根,它使得最简公分母为零,而不是原分式方程的根呢?同学们可在小组内讨论. (教师可参与到学生的讨论中,倾听同学们的想法) [生]在解分式方程时,我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零,那么它就相当于分式方程两边都乘以零,不符合等式变形时的两个基本性质,得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零,也就不适合原方程了. [师]很好!分析得很透彻,我们把这样的不适合原方程的整式方程的根,叫原方程的增根. 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么,是不是就不要这样解?或采用什么方法补救? [生]还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解. [师]怎样检验较简单呢?还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗? [生]不用,产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是:把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零,则是原方程的增根;若使最简公分母不为零,则是原方程的根.是增根,必舍去. [师]在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质,解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时,解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误. Ⅲ.应用,升华 1.解方程: (1)=;(2)+=2. 2.回顾,总结 想一想 解分式方程一般需要经过哪几个步骤? [师]同学们可根据例题和练习题的步骤,讨论总结. [生]解分式方程分三大步骤:(1)方程两边都乘以最简公分母,约去分母,化分式方程为整式方程; (2)解这个整式方程; (3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根. 3.补充练习 解分式方程: (1)=; (2)=(a,h常数) Ⅳ.课时小结 [师]同学们这节课的表现很活跃,一定收获不小. [生]我们学会了解分式方程,明白了解分式方程的三个步骤缺一不可. [生]我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根. [生]我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用,但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么完美,必须经过检验,反思“转化”过程. Ⅴ.活动与探究 若关于x的方程=有增根,则m的值是____________. 第3课时 教学目标 (一)教学知识点 1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 2.用分式方程来解决现实情境中的问题. (二)能力训练要求 1.经历运用分式方程解决实际问题的过程,发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力. 2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意,寻找等量关系,建立数学模型. (三)情感与价值观要求 1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程,体会数学模型的应用价值,从而提高学习数学的兴趣. 2.培养学生的创新精神,从中获得成功的体验. 教学重难点 教学重点: 1.审明题意,寻找等量关系,将实际问题转化成分式方程的数学模型. 2.根据实际意义检验解的合理性. 教学难点: 寻求实际问题中的等量关系,寻求不同的解决问题的方法. 教学过程 Ⅰ.提出问题,引入新课 [师]前两节课,我们认识了分式方程这样的数学模型,并且学会了解分式方程. 接下来,我们就用分式方程解决生活中实际问题. Ⅱ.讲授新课 做一做 某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元. (1)你能找出这一情境的等量关系吗? (2)根据这一情境,你能提出哪些问题? [师]现在我们一块来寻求这一情境中的等量关系. [生]第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元.(1) [生]还有一个等量关系: 第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数. [师]根据做一做的情境,你能提出哪些问题呢?在我们的数学学习中,提出问题比解决问题更重要. 同学们尽管提出符合情境的问题. [生]问题可以是:每年各有多少间房屋出租? [生]问题也可以是:这两年每年房屋的租金各是多少? [师]下面我们就来先解决第一个问题:每年各有多少间房屋出租? [师生共析]解:设每年各有x间房屋出租,那么第一年每间房屋的租金为元,第二年每间房屋的租金为元,根据题意,得=+500 解这个方程,得x=12 经检验x=12是原方程的解,也符合题意. 所以每年各有12间房屋出租. [师]我们接着再来解决第二个问题:这两年每间房屋的租金各是多少? [生]根据第一问的答案可计算,得: 第一年每间房屋的租金为=8000(元), 第二年每间房屋的租金为=8500(元). [师]如果没有第一问,该如何解答第二问? [生]解:设第一年每间房屋的租金为x元,第二年每间房屋的租金为(x+500)元.第一年租出的房间为间,第二年租出的房间为间,根据题意,得 = 解,得x=8000 x+500=8500(元) 经检验:x=8000是原分式方程的解,也符合题意. 所以这两年每间房屋的租金分别为8000元,8500元. [师]我们利用分式方程解决了实际问题.现在我们再来看一个例题,我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情. [例3]某自来水公司水费计算办法如下:若每户每月用水不超过5m3,则每立方米收费15元;若每户每月用水超过5m3,则超出部分每立方米收取较高的定额费用.1月份,张家用水量是李家用水量的,张家当月水费是175元,李家当月水费是275元.超出5 m3的部分每立方米收费多少元? [师]解决实际情境问题,最关键的是什么呢? [生]审清题意,找出题中的等量关系. [师]很好.某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来(如下表) 用水量 单价 不超过5米3 15元/米3 超过5米3超出的部分 ?元/米3 你们找到题中的等量关系了吗? [生]此题主要的等量关系是:1月份张家用水量是李家用水量的. [师]怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢? [生]根据自来水公司水费计算的办法,用水量可以用水费除以单价得出,但计算时要将水费分成两部分:5m3的水费与超出5m3部分的水费. [师]下面我们就来用等量关系列出方程. [师生共析]设超出5m3部分的水,每立方米收费设为x元,则1月份, 张家超出5m3的部分水费为(17.5-1.5×5)元,超出5m3的用水量为m3,总用水量为5+; 李家超出5m3部分的水费为(275-15×5)元,超出5m3的用水量为m3,总用水量为(5+)m3 根据等量关系,得 +5=(+5)× 解这个方程,得x=2. 经检验x=2是所列方程的根. 所以超出5m3部分的水,每立方米收费2元. Ⅲ.随堂练习 小芳带了15元钱去商店买笔记本.如果买一种软皮本,正好需付15元钱.但售货员建议她买一种质量好的硬皮本,这种本子的价格比软皮本高出一半,因此她只能少买一本笔记本.这种软皮本和硬皮本的价格各是多少? [师]我们先来找到题中的等量关系. [生]题中的等量关系有两个: 15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本. 硬皮本的价格=软皮本的价格×(1+) [师]我们找到了等量关系,接下来请同学们在练习本上完成第1题. [生]解:设软皮本的价格为x元,则硬皮本的价格为(1+)x元,那么15元钱可买软皮本本,硬皮本本.根据题意,得,=+1 解,得x=5 经检验x=5是原方程的根,也符合题意,所以(1+)x=×5=75(元) 故这种软皮本和硬皮本的价格各为5元、75元. Ⅳ.课时小结 列方程解决实际情境中的具体问题,是数学实用性最直接的体现,而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型,关键则在于审清题意,找出题中的等量关系,找到它就为列方程指明了方向. Ⅴ.活动与探究 如图,小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3km,王老师家到学校的路程为05km,由于小明父母战斗在抗非典第一线,为了使他能按时到校,王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20分钟,问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少?

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